Метод гармонической линеаризации: Методические указания к лабораторной работе. Гармоническая линеаризация Метод гармонической линеаризации пример

В этой главе будет изложен метод гармонической линеаризации для приближенного определения периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных систем любого порядка, который по идее близок к методу эквивалентной линеаризации или методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам - также и к методу малого параметра Б. В. Булгакова.

Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследования нелинейных автоматических систем в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Однако надо иметь в виду, что он решает задачу приближенно. Имеются определенные ограничения его применимости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хорошо соблюдаются в задачах теории автоматического регулирования. Практические расчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для многих видов нелинейных систем.

Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида

Разложив функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье, получим

что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. В настоящей главе будет везде предполагаться выполнение условия отсутствия постоянной составляющей (18.5). Впоследствии (глава 19) будет дан метод исследования автоколебаний при наличии постоянной составляющей, т. е. в случае невыполнения условия (18.5).

Если принять во внимание, что из (18.2) и (18.3)

то формулу (18.4) при условии (18.5) можно будет записать в виде

где q - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами:

Итак, нелинейное выражение (18.1) при заменяется выражением (18.6), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты постоянны при постоянных значениях , т. е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с изменением а и со коэффициенты q и изменяются (см.гл. 20). Для разных амплитуд и частот периодических процессов коэффициенты выражения (18.6) будут различны по величине. Это очень важное для дальнейшего обстоятельство является существенным отличием гармонической линеаризации, по сравнению с обычным способом линеаризации (§ 3.1), приводящим к чисто линейным выражениям, которые применялись в предыдущих разделах книги. Указанное обстоятельство позволит путем применения к выражению (18.6) линейных методов исследования проанализировать основные свойства нелинейных систем, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.

Приведем также формулы гармонической линеаризации для более простой нелинейности:

Здесь возможны два варианта: 1) кривая имеет гистерезисную петлю (например, рис. 16.18, в, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая не имеет гистерезисной петли (рис. 16.8, б, рис. 16.22, а и др.).

При наличии гистерезисной петли, когда фактически наблюдается зависимость от знака производной, нелинейная функция после гармонической линеаризации заменяется следующим выражением (при

при условии отсутствия постоянной составляющей:

Если же кривая не имеет гистерезисной петли, то так как при будет

(при гистерезисной петле этот интеграл не был нулем вследствие различия в очертании кривой при возрастании и убывании

Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли нелинейное выражение (18.8) заменяется более простым:

т. е. криволинейная или ломаная характеристика с точностью до высших гармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой q зависит от размера амплитуды колебаний а. Другими словами, нелинейное звено уподобляется «линейному» с передаточным числом (коэффициентом усиления), зависящим от амплитуды а колебаний входной величины х.

Гистерезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, еще производную, дающую отставание по фазе, так как Таким образом, нелинейное отставание по координате в виде гистерезисной петли превращается при гармонической линеаризации в эквивалентное линейное отставание по фазе.

Можно создать специальное нелинейное звено с опережающей петлей, что будет эквивалентно линейному опережению фазы при введении производной, но с тем отличием, что величина опережения фазы будет зависеть от размера амплитуды колебаний, чего нет в линейных системах.

В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включающим сумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членов подвергается гармонической линеаризации по отдельности. Произведение же нелинейностей рассматривается обязательно в целом как одна сложная нелинейность. При этом могут встретиться иного характера нелинейные функции.

Например, при гармонической линеаризации второго из уравнений (16.3) придется иметь дело с функцией при . В этом случае получаем

при условии

Если же функция или функция будет единственной нелинейной функцией в уравнении нелинейного звена, то при гармонической

линеаризации можно положить и

аналогично прежним формулам (18.6) и (18.7). Но при этом величина а во всех выкладках будет амплитудой колебаний скорости а не самой координаты х. Последняя же будет иметь тогда амплитуду

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации по формулам (18.10) надо иметь в виду, что при симметричных нелинейных характеристиках интеграл можно получить удвоением интеграла , т. е.

а для симметричных относительно начала координат безгистерезисных характеристик при вычислении можно писать

Приведем выражения для коэффициентов некоторых простейших нелинейных звеньев. Затем их можно будет непосредственно использовать при решении различных конкретных задач.

Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев. Найдем коэффициенты и уравнений наиболее типичных релейных звеньев по формулам (18.10). Возьмем общий вид характеристики релейного звена изображаемой графиком рис. 18.1, а, где есть любое дробное число в интервале

Как частные случаи будут получены уравнения других типов релейных звеньев.

Если колебания входной величины имеют амплитуду то согласно рис. 18.1, а движения в системе не будет. Если амплитуда то переключения реле происходят в точках А, В, С, D (рис. 18.1, б), в которых имеем

Следовательно, после использования свойств каждый из интегралов (18.10) разбивается на три слагаемых:

причем первое и третье из них согласно рис. 18.1, а и будут нулями. Поэтому выражения (18.10) принимают вид

а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис. 18.1, а будет иметь вид (18.9) с полученными здесь значениями и .

Рассмотрим частные случаи.

Для релейного звена с характеристикой без гистерезисной петли, но с зоной нечувствительности (рис. 18.1, а), полагая из вышенаписанных формул получаем

Для релейной характеристики с гистерезисной петлей типа рис. полагая имеем

Наконец, для идеального релейного звена (рис. 18.1, е), полагая находим

На последнем примере легко видеть смысл гармонической линеаризации релейной характеристики. Написанное выражение для q означает замену ломаной характеристики прямолинейной (рис. 18.1, е) с таким наклоном, чтобы эта прямая приблизительно заменяла собой тот участок ломаной который охватывается заданной амплитудой а. Отсюда становится вполне понятной обратно пропорциональная зависимость от а, даваемая формулой (18.18), так как чем больше амплитуда а колебаний входной величины тем более пологой должна быть прямая приблизительно заменяющая ломаную

Аналогично обстоит дело и с релейной характеристикой на рис. 18.1, г для которой наклон заменяющей ее прямой дается формулой (18.16). Следовательно, всякое безгистерезисное релейное звено в колебательном процессе эквивалентно такому «линейному» звену, передаточное число (коэффициент усиления) которого уменьшается с увеличением амплитуды колебаний входной величины, начиная с

Что касается релейного звена с гистерезисной петлей, то согласно (18.9) и (18.17) оно заменяется линейным звеном с аналогичным прежнему коэффициентом усиления , но, кроме того, еще с введением отрицательной производной в правой части уравнения. Введение отрицательной производной в противовес положительной (см. § 10.2) вносит отставание по фазе в реакции звена на входное воздействие. Это служит «линейным эквивалентом», заменяющим эффект действия нелинейности в виде гистерезисной петли. При этом

коэффициент при производной согласно (18.17) тоже уменьшается с увеличением амплитуды а колебаний входной величины что и понятно, так как эффект влияния гистерезисной петли на процесс колебаний в релейном звене должен быть тем меньше, чем больше амплитуда колебаний по сравнению с шириной гистерезисной петли.

Коэффициенты гармонической линеаризации других простейших нелинейных звеньев. Рассмотрим нелинейное звено с зоной нечувствительности и с насыщением (рис. 18.2, а). Согласно рис. 18.2, б, где

интеграл (18.10) на участке разбивается на пять слагаемых, причем два из них равны нулю. Поэтому

откуда с заменой получаем

где определяются формулами (18.19). Ввиду отсутствия гистерезисной петли здесь

Итак, уравнение нелинейного звена с характеристикой вида рис. 18.2, а будет где определяется выражением (18.20).

Как частный случай отсюда получается значение для звена с зоной нечувствительности без насыщения (рис. 18.2, в). Для этого в предыдущем решении нужно положить и, следовательно, Тогда

Как видим, звено с зоной нечувствительности уподобляется здесь линейному звену с уменьшенным за ее счет коэффициентом усиления. Это уменьшение коэффициента усиления значительно при малых амплитудах и невелико при больших, причем при

Метод гармонической линеаризации позволяет с достаточной для практики точностью исследовать устойчивость и точность нелинейных систем, используя методы, разработанные для линейных систем. Метод дает возможность определить наличие автоколебаний, а также их частоту и амплитуду.

Нелинейная система представляется в виде соединения линейной и нелинейной части (рис. 5).

Рис. 5 Схема нелинейной системы

Выходной сигнал нелинейной части системы в общем случае определяется выражением

Обозначим как передаточную функцию линейной части. Система уравнений примет вид

Найдем условия, при которых на выходе линейной части системы возникают гармонические колебания вида

В этом случае сигнал y(t) нелинейной части будет представлять собой также периодическую функцию, но отличную от синусоиды. Эту функцию можно разложить в ряд Фурье

В этом выражении a i и b i - коэффициенты Фурье. Для симметричных нелинейностей F 0 =0.

Основным условием, которое накладывает метод на линейную часть системы, является условие фильтра нижних частот. Считается, что линейная часть пропускает только первую гармонику колебаний. Данное допущение позволяет считать высшие гармоники в (7.19) несущественными и ограничиться рассмотрением только первой гармоники сигнала y(t).

то выражение (7.20) можно переписать в виде

Первое уравнение системы (7.17) примет вид

В этом выражении

Результат замены нелинейности F(x,sx) выражением

и называется гармонической линеаризацией. Величины q и q 1 называются коэффициентами гармонической линеаризации или просто гармоническими коэффициентами. Для однозначных нелинейностей обычно q 1 =0 . Формулы для гармонических коэффициентов, соответствующих типовым нелинейностям, приводятся в приложениях.

Принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной состоит в том, что при обычной линеаризации нелинейную характеристику заменяют прямой линией с определенной постоянной крутизной, а при гармонической линеаризации - прямой линией, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала нелинейного элемента.

Рассмотрим методику определения амплитуды и частоты автоколебаний.

1). В характеристическом уравнении системы, полученном из (7.22) делаем замену s=j и получим

2). Из полученного выражения выделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их нулю, что, по критерию Михайлова, соответствует нахождению системы на колебательной границе устойчивости.

• 3).Решение этой системы дает частоту и значения гармонических коэффициентов. Если эти значения вещественны и положительны, то в системе существует предельный цикл. По значениям гармонических коэффициентов можно определить амплитуду предельного цикла.
• 4). Общим признаком устойчивости предельного цикла, т.е. существования автоколебаний, является равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица при полученных значениях амплитуды и частоты предельного цикла. Часто более удобно использовать условие устойчивости предельного цикла, в основе которого лежит критерий устойчивости Михайлова.

Если это неравенство выполняется, то предельный цикл устойчив и в системе существуют автоколебания с определенными выше амплитудой и частотой. Индекс ”*” означает, что производные вычислены при уже известных значениях гармонических коэффициентах, амплитуды и частоты.

Пример. Допустим, что в уже рассмотренной выше системе стабилизации угла тангажа самолета рулевой привод нелинейный и его структурная схема имеет вид, показанный на рис. 7.6.

Рис.6 Схема нелинейного рулевого привода

Зададим следующие параметры нелинейности скоростной характеристикм рулевого привода: b = 0.12, k 1 = tg =c/b = 6.7. Коэффициенты гармонической линеаризации этой нелинейности определяются выражениями

Заменив в схеме нелинейную характеристику гармоническим коэффициентом, получим передаточную функцию рулевого привода

Подставим эту передаточную функцию в структурную схему системы стабилизации угла тангажа и определим передаточную функцию замкнутой системы

В характеристическом уравнении замкнутой системы сделаем замену s = j и выделим вещественную и мнимую части.

Из второго уравнения системы получим выражение для частоты: , и подставив его в первое уравнение, после преобразований получим

Подставив сюда ранее определенные выражения для коэффициентов характеристического уравнения, можно получить квадратное уравнение относительно гармонического коэффициента, решив которое, найдем

По этим значениям можно вычислить для двух случаев все коэффициенты характеристического уравнения и определить частоты, соответствующие каждому значению q(А). Получим:

Оба значения гармонического коэффициента и соответствующие частоты вещественны и положительны. Следовательно, в системе существуют два предельных цикла. Значения амплитуды предельного цикла определяются численно путем подбора такого значения при котором формула для коэффициента гармонической линеаризации дает значение, равное ранее вычисленному. В рассматриваемом случае получим

Теперь оценим устойчивость предельных циклов. Используем неравенство, полученное из критерия Михайлова, для чего определим

Производная от коэффициента гармонической линеаризации, входящая в полученные выражения, вычисляется по формуле

Расчеты по выше приведенным формулам показывают, что первый предельный цикл не устойчив и возникает он при (0) 0.1166(6.7 0 ). Если начальное отклонение меньше указанного, то процесс на входе нелинейного элемента затухает (рис.7. 7) и система устойчива.

Если начальное значение угла тангажа больше указанного, то процессы сходятся ко второму предельному циклу, который устойчив и, таким образом в системе возникают автоколебания (рис. 8).

Рис. 8

Путем моделирования определено, что область притяжения устойчивого предельного цикла лежит приблизительно в пределах (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

Как уже отмечалось, в нелинейных и в особенности релейных АСР часто наблюдаются устойчивые периодические колебания постоянной амплитуды и частоты, так называемые автоколебания . Причем автоколебания могут сохраняться даже при значительных изменениях параметров системы. Практика показала, что во многих случаях колебания регулируемой величины (рис. 3) близки к гармоническим.

Близость автоколебаний к гармоническим позволяет использовать для определения их параметров – амплитуды A и частоты w 0 – метод гармонической линеаризации. В основе метода лежит предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот (гипотеза фильтра). Определим условия, при которых автоколебания в системе могут быть близки к гармоническим. Ограничимся системами, которые как на рис. 3 могут быть приведены к последовательному соединению нелинейного элемента и линейной части. Предположим, что сигнал задания величина постоянная, для простоты примем его равным нулю. А сигнал ошибки (рис 3) является гармоническим:

Выходной сигнал нелинейного элемента как всякий периодический сигнал – на рисунке 3 это прямоугольные колебания – может быть представлен в виде суммы гармоник ряда Фурье.

Допустим, что линейная часть системы является фильтром низких частот (рис. 4) и пропускает только первую гармонику с частотой w 0 . Вторая с частотой 2w 0 и более высокие гармоники отфильтровываются линейной частью. В этом случае на выходе линейной части будет существовать практически только первая гармоника , а влиянием высших гармоник можно пренебречь

Таким образом, если линейная часть системы является фильтром низких частот, а частота автоколебаний w 0 удовлетворяет условиям

, (4)

Предположение, что линейная часть системы является фильтром низких частот, называется гипотезой фильтра . Гипотеза фильтра выполняется всегда, если разность степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции линейной части

не меньше двух

Условие (6) выполняется для многих реальных систем. Примером могут служить апериодическое звено второго порядка и реальное интегрирующее

При исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, в расчет принимается только первая гармоника периодических колебаний на выходе нелинейного элемента, поскольку высшие гармоники все равно практически отфильтровываются линейной частью. В режиме автоколебаний осуществляется гармоническая линеаризация нелинейного элемента. Нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным с комплексным коэффициентом усиления (описывающей функцией) , зависящим от амплитуды входного гармонического сигнала:

где и – действительная и мнимая части ,

– аргумент ,

– модуль .

В общем случае зависит как от амплитуды так и частоты автоколебаний и постоянной составляющей . Физически комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента , чаще называемый коэффициентом гармонической линеаризации , есть комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента по первой гармонике . Модуль коэффициента гармонической линеаризации

численно равен отношению амплитуды первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде входного гармонического сигнала.

Аргумент

характеризует сдвиг по фазе между первой гармоникой выходных колебаний и входным гармоническим сигналом. Для однозначных нелинейностей, таких как, например, на рис. 2,а и 2,б, действительное выражение и

Для неоднозначных нелинейностей, рис. 2,в, 2,г, определяется по формуле

где S – площадь петли гистерезиса. Площадь S берется со знаком плюс, если петля гистерезиса обходится в положительном направлении (рис. 2,в) и со знаком минус в противном случае (рис. 2,г).

В общем случае и вычисляются по формулам

где , – нелинейная функция (характеристика нелинейного элемента).

С учетом вышеизложенного, при исследовании автоколебаний, близких к гармоническим, нелинейная АСР (рис. 3) заменяется эквивалентной с коэффициентом гармонической линеаризации вместо нелинейного элемента (рис. 5). Выходной сигнал нелинейного элемента на рис. 5 обозначен как , это

Подчеркивает, что нелинейный элемент генерирует только

первую гармонику колебаний. Формулы для коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в литературе, например, в . В таблице приложения В приведены характеристики исследуемых релейных элементов, формулы для и их годографы. Там же приведены формулы и годографы для обратного коэффициента гармонической линеаризации , определяемого выражением

где и действительная и мнимая часть . Годографы и строятся в координатах , и , соответственно.

Запишем теперь условия существования автоколебаний. Система на рис. 5 эквивалентна линейной. В линейной системе существуют незатухающие колебания, если она находится на границе устойчивости. Воспользуемся условием границы устойчивости по критерию Найквиста: . На рис. 6,а – две точки пересечения, что указывает на наличие двух предельных циклов.

При подаче на вход линейной системы гармонического сигнала

на выходе системы также устанавливается гармонический сигнал, но с другой амплитудой и смещенный по фазе по отношению к входному. Если же синусоидальный сигнал подать на вход нелинейного элемента, то на его выходе формируются периодические колебания, но по форме существенно отличающиеся от синусоидальных. В качестве при­мера на рис. 8.17 показан характер изменения выходной переменной нелинейного элемента с релейной ха­рактеристикой (8.14) при поступлении на его вход синусоидальных колебаний (8.18).

Разлагая периодический сигнал на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье, представляем в виде суммы постоянной составляющей и бесконечного множества гармонических составляющих:

, (8.19)

где – постоянные коэффи­циенты ряда Фурье; – частота колебаний пер­вой гармоники (основная частота), равная частоте вход­ных синусоидальных колебаний;Т – период колебания первой гармоники, равный периоду входных синусоидальных колебаний.

Выходной сигнал нелинейного элемента поступает на вход линейной части САУ (см. рис. 8.1), которая, как правило, обладает существенной инерционностью. При этом высокочастотные составляющие сигнала (8.19) практически не проходят на выход системы, т.е. линейная часть является фильтром по отношению к высокочастотным гармоническим состав­ляющим. В связи с этим, а также учитывая, что ампли­туды гармонических составляющих в уменьшаются с ростом часто­ты гармоники, для приближенной оценки выходной величины нелинейного элемента, в большом числе случаев достаточно учитывать только первую гармониче­скую составляющую в .

Следовательно, при отсутствии постоянной составляю­щей в выходных колебаниях выражение (8.19) прибли­женно можно записать в виде:

Выражая из формулы (8.20) функцию , а из производной – функцию , преобразуем выражение (8.20) следующим образом:

. (8.21)

Таким образом, нелинейная зависимость выходной величины от входной в нелинейном элементе приближен­но заменяется линейной зависимостью, описываемой вы­ражением (8.21).

Выполнив в вы­ражении (8.21) преобразование Лапласа, получим:

Как и для непрерывных звеньев введем в рассмотрение переда­точную функцию нелинейного гармонически линеаризо­ванного элемента , как отношение изображения выходной ве­личины к изображению входной величины:

. (8.22)

Таблица 8.1

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых нелинейностей

Статическая характеристика нелинейного элемента
Линейная характеристика с зоной нечувствительности
Линейная характеристика с ограничением
Линейная характеристика с зоной нечувствительности и ограничением
Характеристика «люфт»
Идеальная релейная характеристика
Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности
Неоднозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности
Кубическая парабола:
Характеристика «петля гистерезиса»

Передаточная функция нелинейного эле­мента имеет существенное отличие от передаточной функ­ции линейной системы , заключающееся в том, что зависит от амплитуды и частоты входного сигнала.

Выражение (8.22) запишем в виде:

q (A ) + q 1 (A ), (8.23)

где q(A) ,q 1 (A) – коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые как отношения коэффициентов ряда Фурье для пер­вой гармоники выходных колебаний к амплитуде вход­ных колебаний:

q (A ) = q 1 (A ) = . (8.24)

Заменяя в выражении (8.23) р на , получим выражение длякомплексного коэффициента передачи нелинейного элемента :

q (A ) +j q 1 (A ), (8.25)

являющегося аналогом АФХ для линейного звена.

В качестве примера определим выражение для комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента с релейной статической характеристикой (8.14). Коэффициенты ряда Фурье A 1 и B 1 для указанной нелинейности равны:

B 1 .

Очевидно, что коэффициент B 1 будет равен нулю для любого нелинейного элемента с нечетно-симметричной статической нелинейностью.

где - передаточная функция линейной части си­стемы; - передаточная функция нелинейного элемента после его линеаризации.

Если , то выражение (8.26) можно записать в виде:

Заменяя в выражении (8.27) р на , по­лучим комплексное выражение, в котором необходимо выделить вещественную и мнимую части:

[ q (A ) +j q 1 (A ) ] . (8.28)

При этом условие возникновения периодических колебаний в системе с частотой и амплитудой запишем:

(8.29)

Если решения системы (8.29) комплексные или отрицательные, режим автоколебаний в системе невозможен. Наличие положительных вещественных решений для и свидетельствует о наличии в системе автоколебаний, которые необходимо проверить на устойчивость.

В качестве примера найдем условия возникновения автоколеба­ний в САУ, если передаточная функция ее линейной части равна:

(8.30)

и нелинейным элементом типа «петля гистерезиса».

Передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного элемента (см. табл. 8.1) имеет вид:

. (8.31)

Подставляя выражения (8.30) и (8.31) в выражение (8.26) и заменяя р на , найдем выражение для :

Отсюда в соответствии с выражением (8.29) получаем следующие условия возникновения автоколебаний в системе:

Решение системы уравнений (8.29) обычно затруднительно, так как ко­эффициенты гармонической линеаризации имеют слож­ную зависимость от амплитуды входного сигнала. Кроме того, помимо определения амплитуды и частоты , необходимо оценить устойчивость автоколебаний в системе.

Условия возникновения автоколебаний в нелинейной системе и параметры предельных циклов можно исследо­вать, используя частотные критерии устойчивости, например, критерий устойчи­вости Найквиста. Согласно этому критерию при наличии ав токолебанийамплитудно-фазовая характеристика разомкнутой гармонически линеаризованной системы, равная

проходит через точку (-1, j0). Следовательно, для и справедливо равенство:

. (8.32)

Решение уравнения (8.32) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически. Для этого на комплексной плоскости необходимо, изменяя частоту от 0 до , построить годограф АФХ линейной части системы и, изменяя амплитудуА от 0 до , построить годограф обратной ха­рактеристики нелинейной части , взятый с знаком «минус». Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует (рис. 8.18, б).

При пересечении годографов (рис. 8.18, а) в системе возникают автоколебания, частота и амплитуда которых опреде­ляются значениями и в точке пересечения..

Если и - пересекаются в нескольких точках (рис. 8.18, а), то это свидетельствует о наличии в системе нескольких предельных циклов. При этом колебания в системе могут быть устойчивы­ми и неустойчивыми.

Устойчивость автоколебательного режима оценивается следующим образом. Режим автоколебаний устойчив, если точка на годографе нелинейной части , соответствующая амплитуде большей по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. В противном случае автоколебательный режим неустойчив.

На рис. 8.18, а годографы пересекаются в точках 1 и 2. Точка 1 определяет неустойчивый режим автоколебаний, так как точка годографа , соответствующая увеличенной амплитуде, охватывается годографом частотной характеристики линейной части системы. Точке 2 соответствует устойчивый режим автоколебаний, амплитуда которых определяется по годографу а частота – по годографу .

В качестве примера оценим устойчивость автоколебаний в двух нелинейных системах. Будем полагать, что передаточные функции линейных частей этих систем совпадают и равны:

,

но входящие в них их нелинейные элементы различны. Пусть в первую систему включен нелинейный элемент «идеальное реле», описываемый системой (8.14), а во вторую – нелинейный элемент со статической характеристикой «кубическая парабола». Воспользовавшись данными таблицы 8.1, получим:

На рис. 8.19 изображены годографы этих систем совместно с годографом АФХ линейной части системы . На основании изложенного можно утверждать, что в первой системе возникают устойчивые автоколебания с частотой и амплитудой , а во второй системе автоколебания неустойчивые.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Метод гармонической линеаризации

Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 210100

Одобрено

редакционно –издательским советом

Балаковского интститута техники,

технологии и управления

Балаково 2004

Цель работы: Изучение нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации (гармонического баланса), определение коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейных звеньев. Получение навыков по нахождению параметров симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний), используя алгебраический, частотный способы, а также с помощью критерия Михайлова.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования нелинейных систем. Он позволяет достаточно просто и с приемлемой точностью оценивать устойчивость нелинейных систем, определять частоту и амплитуду установившихся в системе колебаний.

Предполагается, что исследуемая нелинейная САУ может быть представлена в следующем виде

причем нелинейная часть должна иметь одну нелинейность

Эта нелинейность может быть как непрерывной, так и релейной, однозначной или гистерезисной.

Любую функцию или сигнал можно разложить в ряд по системе линейно-независимых, в частном случае ортонормированных функций. В качестве такого ортогонального ряда может быть использован ряд Фурье.

Разложим в ряд Фурье выходной сигнал нелинейной части системы

, (2)

здесь - коэффициенты Фурье,

,

,

. (3)

Таким образом, сигнал согласно (2) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармоник с возрастающими частотами и т. д. Этот сигнал поступает на вход линейной части нелинейной системы.

Обозначим передаточную функцию линейной части

, (4)

причем степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя. В этом случае АЧХ линейной части имеет вид

где 1 - не имеет полюсов, 2 - имеет полюс или полюса.

Для АЧХ справедливо записать

Таким образом, линейная часть нелинейной системы является фильтром высоких частот. В этом случае линейная часть будет пропускать без ослабления только низкие частоты, высокие же по мере роста частоты будут существенно ослабляться.

В методе гармонической линеаризации делается предположение о том, что линейная часть системы будет пропускать только постоянную составляющую сигнала и первую гармонику. Тогда сигнал на выходе линейной части будет иметь вид

Этот сигнал проходит по всему замкнутому контуру системы Рис.1 и на выходе нелинейного элемента без учета более высоких гармоник, согласно (2) имеем

. (7)

При исследовании нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации возможны случаи симметричных и несимметричных колебаний. Рассмотрим случай симметричных колебаний. Здесь и.

Введем следующие обозначения

Подставив их в (7), получим . (8)

С учетом того, что

. (9)

Согласно (3) и (8) при

,

. (10)

Выражение (9) является гармонической линеаризацией нелинейности устанавливает линейную связь входной переменной и выходной при . Величины и называются коэффициентами гармонической линеаризации.

Необходимо отметить, что уравнение (9) является линейным для конкретных величин и (амплитуды и частоты гармонических колебаний в системе). Но в целом оно сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты различны для различных и . Эта особенность и позволяет исследовать с помощью метода гармонической линеаризации свойства нелинейных систем [ Попов Е.П.].

В случае несимметричных колебаний гармоническая линеаризация нелинейности приводит к линейному уравнению

,

,

. (12)

Так же как и уравнение (9), линеаризованное уравнение (11) сохраняет свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты гармонической линеаризации , , а так же постоянная составляющая зависят и от смещения и от амплитуды гармонических колебаний .

Уравнения (9) и (11) позволяют получить передаточные функции гармонически линеаризованных нелинейных элементов. Так для симметричных колебаний

, (13)

при этом частотная передаточная функция

зависит только от амплитуды и не зависит от частоты колебаний в системе.

Необходимо отметить, что если нечетно-симметричная нелинейность однозначна, то в случае симметричных колебаний в соответствии с (9) и (10) получим, что , (15)

(16)

и линеаризованная нелинейность имеет вид

Для неоднозначных нелинейностей (с гистерезисом) интеграл в выражении (16) не равен нулю, вследствие различия в поведении кривой при возрастании и убывании , поэтому справедливо полное выражение (9).

Найдем коэффициенты гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик. Пусть нелинейная характеристика имеет вид релейной характеристики с гистерезисом и зоной нечувствительности. Рассмотрим, как гармонические колебания проходят через нелинейный элемент с такой характеристикой.



При выполнении условия , то есть если амплитуда входного сигнала меньше зоны нечувствительности , то сигнал на выходе нелинейного элемента отсутствует. Если же амплитуда , то реле переключается в точках A, B, C и D. Обозначим и .

,

. (18)

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации следует иметь ввиду, что при симметричных нелинейных характеристиках интегралы в выражениях (10) находятся на полупериоде (0, ) с последующим увеличением результата в два раза. Таким образом

,

. (19)

Для нелинейного элемента с релейной характеристикой и зоной нечувствительности

,

Для нелинейного элемента, имеющего релейную характеристику с гистерезисом

,

Аналогично могут быть получены коэффициенты гармонической линеаризации для других нелинейных характеристик.

Рассмотрим два способа определения симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний) и устойчивости линеаризованных систем: алгебраический и частотный. Сначала рассмотрим алгебраический способ. Для замкнутой системы Рис.1 передаточная функция линейной части равна

.

Запишем гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейной части

.

Характеристической уравнение замкнутой системы имеет вид

. (22)

Если в исследуемой системе возникают автоколебания, то это говорит о наличии двух чисто мнимых корней в ее характеристическом уравнении. Поэтому подставим в характеристическое уравнение (22) значение корня .

. (23)

Представим

Получим два уравнения, определяющих искомую амплитуду и частоту

,

. (24)

Если в решении возможны вещественные положительные значения амплитуды и частоты , то в системе могут возникнуть автоколебания. Если же амплитуда и частота не имеет положительных значений, то автоколебания в системе невозможны.

Рассмотрим пример 1. Пусть исследуемая нелинейная система имеет вид

В этом примере нелинейный элемент представляет собой чувствительный элемент с релейной характеристикой, для которого коэффициенты гармонической линеаризации

Исполнительное устройство имеет передаточную функцию вида

Передаточная функция объекта регулирования равна

. (27)

Передаточная функция линейной части системы

, (28)

На основании (22), (25) и (28) запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

, (29)

,

Пусть 1/сек, сек, сек, в.

В этом случае параметры периодического движения равны

7,071 ,

Рассмотрим способ определения параметров автоколебаний в линеаризованной САУ с помощью критерия Михайлова. Способ основан на том, что при возникновении автоколебаний система будет находиться на границе устойчивости и годограф Михайлова в этом случае будет проходить через начало координат.

В примере 2 найдем параметры автоколебаний при том условии, что нелинейный элемент в системе Рис.4 представляет собой чувствительный элемент, имеющий релейную характеристику с гистерезисом, для которого коэффициенты гармонической линеаризации

,

Линейная часть осталась неизменной.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

Годограф Михайлова получается заменой .

Задача заключается в том, чтобы подобрать такую амплитуду колебаний , при которой годограф пройдет через начало координат. Необходимо отметить, что при этом текущая частота , так как именно в этом случае кривая пройдет через начало координат.

Расчеты, проведенные в MATHCAD 7 при 1/сек, сек, сек, в и в, дали следующие результаты. На Рис.5 годограф Михайлова проходит через начало координат. Для повышения точности расчетов увеличим нужный фрагмент графика. На Рис.6 приведен фрагмент годографа, увеличенный в окрестности начала координат. Кривая проходит через начало координат при в.

Рис.5. Рис.6.

Частоту колебаний при этом можно найти из условия равенства нулю модуля . Для частот

значения модуля сведены в таблицу

Таким образом, частота колебаний 6,38 . Необходимо отметить, что точность расчетов легко может быть увеличена.

Полученное периодическое решение, определяемое значением амплитуды и частоты , необходимо исследовать на устойчивость. Если решение устойчиво, то в системе имеет место автоколебательный процесс (устойчивый предельный цикл). В противном случае предельный цикл будет неустойчивым.

Проще всего для исследования устойчивости периодического решения использовать критерий устойчивости Михайлова в графическом виде. Было установлено, что при кривая Михайлова проходит через начало координат. Если дать малое приращение , то кривая займет положение либо выше нуля, либо ниже. Так в последнем примере дадим приращение в, то есть и . Положение кривых Михайлова показано на Рис.7.

При кривая проходит выше нуля, что говорит об устойчивости системы и затухающем переходном процессе. При кривая Михайлова проходит ниже нуля, система является неустойчивой и переходный процесс является расходящимся. Таким образом периодическое решение с амплитудой в и частотой колебаний 6,38 устойчиво.

Для исследования устойчивости периодического решения может быть использован и аналитический критерий, получаемый из графического критерия Михайлова. Действительно, чтобы узнать пойдет ли кривая Михайлова при выше нуля достаточно посмотреть, куда будет перемещаться точка кривой Михайлова, которая при находится в начале координат.

Если разложить перемещение этой точки по координатным осям X и Y, то для устойчивости периодического решения вектор, определяемый проекциями на координатные оси

должен быть расположен справа от касательной MN к кривой Михайлова, если смотреть вдоль кривой в сторону возрастания , направление которой определяется проекциями

Аналитическое условие устойчивости запишем в следующем виде

В этом выражении частные производные берутся по текущему параметру кривой Михайлова

,

Необходимо отметить, что аналитическое выражение критерия устойчивости (31) справедливо только для систем не выше четвертого порядка, так как например для системы пятого порядка в начале координат условие (31) может выполняться, а система будет неустойчивой

Применим критерий (31) для исследования устойчивости периодического решения, полученного в примере 1.

,

,

, ,