Формулы выражающие центробежные моменты инерции. Центробежные моменты инерции

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ.

Как показывает опыт, сопротивление стержня различным деформациям зависит не только от размеров поперечного сечения, но и от формы.

Размеры поперечного сечения и форма характеризуются различными геометрическими характеристиками: площадь поперечного сечения, статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и др.

1. Статический момент площади (момент инерции первой степени).

Статический моментом инерции площади относительно какой-либо оси, называется сумма произведений элементарных площадок на расстояние до этой оси, распространенная на всю площадь (рис. 1)

Рис.1

Свойства статического момента площади:

1. Статический момент площади измеряется в единицах длинны третьей степени (например, см 3).

2. Статический момент может быть меньше нуля, больше нуля и, следовательно, равняться нулю. Оси, относительно которых статический момент равен нулю, проходят через центр тяжести сечения и называются центральными осями.

Если x c иy c – координаты цента тяжести, то

3. Статический момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме статических моментов составляющих простых сечений относительно той же оси.

Понятие статического момента инерции в науке о прочности используется для определения положения центра тяжести сечений, хотя надо помнить, что в симметричных сечениях центр тяжести лежит на пересечении осей симметрии.

2. Момент инерции плоских сечений (фигур) (моменты инерции второй степени).

а) осевой (экваториальный) момент инерции.

Осевым моментом инерции площади фигуры относительно какой-либо оси называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до этой оси распространения на всю площадь (рис. 1)

Свойства осевого момента инерции.

1. Осевой момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см 4).

2. Осевой момент инерции всегда больше нуля.

3. Осевой момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси равен сумме осевых моментов составляющих простых сечений относительно той же оси:

4. Величина осевого момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенного поперечного сечения сопротивляться изгибу.

б) Полярный момент инерции .

Полярным моментом инерции площади фигуры относительно какого-либо полюса называется сумма произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до полюса, распространенная на всю площадь (рис. 1).

Свойства полярного момента инерции:

1. Полярный момент инерции площади измеряется в единицах длины четвертой степени (например, см 4).

2. Полярный момент инерции всегда больше нуля.

3. Полярный момент инерции сложного сечения относительно какого-либо полюса (центра) равен сумме полярных моментов составляющих простых сечений относительно этого полюса.

4. Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции этого сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс.

5. Величина полярного момента инерции характеризует способность стержня (бруса) определенной формы поперечного сечения сопротивляться кручению.

в) Центробежный момент инерции.

ЦЕНТРОБЕЖНЫМ МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ площади фигуры относительно какой-либо системы координат называется сумма произведений элементарных площадок на координаты, распространенная на всю площадь (рис. 1)

Свойства центробежного момента инерции:

1. Центробежный момент инерции площади измеряется в единицах длинны четвертой степени (например, см 4).

2. Центробежный момент инерции может быть больше нуля, меньше нуля, и равняться нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии, будут главными осями. Главные оси, проходящие через центр тяжести площади, называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции площади – главными центральными моментами инерции.

3. Центробежный момент инерции сложного сечения в какой-либо системе координат равен сумме центробежных моментов инерции составляющих фигур в той же схеме координат.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ.

Рис.2

Дано: оси x, y – центральные;

т.е. осевой момент инерции в сечении относительно оси, параллельной центральной, равен осевому моменту относительно своей центральной оси плюс произведение площади на квадрат расстояния между осями. Отсюда следует, что осевой момент инерции сечения относительно центральной оси имеет минимальную величину в системе параллельных осей.

Сделав аналогичные выкладки для центробежного момента инерции, получим:

J x1y1 =J xy +Aab

т.е. центробежный момент инерции сечения относительно осей, параллельных центральной системе координат, равен центробежному моменту в центральной системе координат плюс произведение площади на расстояние между осями.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ В ПОВЕРНУТОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения есть величина постоянная, не зависит от угла поворота осей координат и равна полярному моменту инерции относительно начала координат. Центробежный момент инерции может менять свою величину и обращаться в «0».

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю будут главными осями инерции, а если они проходят через центр тяжести, то они называются главными осями инерции и обозначаются «u» и «».

Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции и обозначаются , причем главные центральные моменты инерции имеют экстремальные значения, т.е. один «min», а другой «max».

Пусть угол «a 0 » характеризует положение главных осей, тогда:

по этой зависимости определяем положение главных осей. Величину же главных моментов инерции после некоторых преобразований, определяем по следующей зависимости:

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСЕВЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ, ПОЛЯРНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОМЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР.

1. Прямоугольное сечение

Оси x и y – здесь и в других примерах – главные центральные оси инерции.

Определим осевые моменты сопротивления:

2. Круглое сплошное сечение. Моменты инерции.

Допустим, что имеется система координат с началом в точке O и осями OX; OY; OZ. По отношению к данным осям центробежными моментами инерции (произведениями инерции) называются величины , которые определяются равенствами:

где - массы материальных точек, на которые разбивают тело; - координаты соответствующих материальных точек.

Центробежный момент инерции обладает свойством симметрии, это следует из его определения:

Центробежные моменты тела могут быть положительными и отрицательными, при определённом выборе осей OXYZ они могут обращаться в ноль.

Для центробежных моментов инерции существует аналог теоремы Штейнберга. Если рассмотреть две системы координат: и . Одна из этих систем имеет начало координат в центе масс тела (точка C), оси систем координат являются попарно параллельными (). Пусть в системе координат координатами центра масс тела являются (), тогда:

где - масса тела.

Главные оси инерции тела

Пусть однородное тело имеет ось симметрии. Построим координатные оси так, чтобы ось OZ была направлена вдоль оси симметрии тела. Тогда, как следствие симметрии каждой точке тела с массой и координатами соответствует точка, имеющая другой индекс, но такую же массу и координаты: . В результате получаем, что:

так как в данных суммах все слагаемые имеют свою равную по величине, но противоположную по знаку пару. Выражения (4) эквивалентны записи:

Мы получили, что осевая симметрия распределения масс по отношению к оси OZ характеризуется равенством нулю двух центробежных моментов инерции (5), которые содержат среди своих индексов наименование этой оси. В таком случае ось OZ называется главной осью инерции тела для точки О.

Главная ось инерции не всегда является осью симметрии тела. Если тело обладает плоскостью симметрии, то любая ось, которая перпендикулярна этой плоскости, является главной осью инерции для точки O, в которой ось пересекает рассматриваемую плоскость. Равенства (5) отображают условия того, что ось OZ является главной осью инерции тела для точки O (начала координат). Если выполняются условия:

то ось OY будет для точки O главной осью инерции.

В том случае, если выполняются равенства:

то все три координатные оси системы координат OXYZ являются главными осями инерции тела для начала координат.

Моменты инерции тела по отношению к главным осям инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, которые построены для центра масс тела, носят название главных центральных осей инерции тела.

Если тело обладает осью симметрии, то она является одной из главных центральных осей инерции тела, поскольку центр масс находится на этой оси. В том случае, если тело имеет плоскость симметрии, то ось, нормальная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела является одной из главных центральных осей инерции тела.

Понятие главных осей инерции в динамике твердого тела имеет существенное значение. Если вдоль них направить оси координат OXYZ, то все центробежные моменты инерции становятся равными нулю, при этом значительно упрощаются формулы, которые следует применять при решении задач динамики. С понятием о главных осях инерции связано решение задач о динамическом уравнении тела находящегося во вращении и о центре удара.

Момент инерции тела (и центробежный в том числе) в международной системем единиц измеряются в:

Центробежный момент инерции сечения

Центробежным моментом инерции сечения (плоской фигуры) относительно двух взаимно нормальных осей (OX и OY) называют величину, равную:

выражение (8) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок () на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.

Единицей измерения моментов инерции сечения в СИ является:

Центробежный момент инерции сложного сечения по отношению к любым двум взаимно нормальным осям равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих осей.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Получите выражение для центробежного момента инерции прямоугольного сечения относительно осей (X,Y).

Решение

Сделаем рисунок. Для определения центробежного момента инерции выделим из имеющегося прямоугольника элемент его площади (рис.1) , площадь которой равна: На первом этапе решения задачи найдем центробежный момент инерции () вертикальной полосы, имеющей высоту и ширину , которая находится на расстоянии от оси Y (учтем, что при интегрировании для всех площадок в избранной вертикальной полоске величина является постоянной):

Если m = 1, n = 1, тогда получим характеристику

которая называется центробежным моментом инерции .

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А .

Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).

Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции J p называют характеристику

С другой стороны,

Полярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний до этой точки, взятая по всей площади сечения А .

Размерность моментов инерции – м 4 в СИ.

Момент сопротивления

Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (y max или z max ) до наиболее удаленной от этой оси точки

Размерность моментов сопротивления – м 3 в СИ.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.

Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E . В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E = E(z, y) . Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения характеризуется более сложными, чем геометрические характеристики однородного сечения, характеристиками, а именно упруго-геометрическими вида

2.2. Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z . Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихован) равна dA = b · dy . Подставляя значение dA в первую формулу, получим

По аналогии запишем осевой момент относительно оси у :

Осевые моменты сопротивления прямоугольника:

;

Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других простых фигур.

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции J p .

Затем, учитывая, что для круга J z = J y , а J p = J z + J y , найдем J z = J y = J p / 2.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ ; площадь такого кольца dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ . Подставляя выражение для dA в выражение для J p и интегрируя, получим

2.3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей

z и y :

Требуется определить моменты инерции этого сечения относительно «новых» осей z 1 и y 1 , параллельных центральным и отстоящих от них на расстояние a и b соответственно:

Координаты любой точки в «новой» системе координат z 1 0 1 y 1 можно выразить через координаты в «старых» осях z и y так:

Так как оси z и y – центральные, то статический момент S z = 0.

Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном переносе осей:

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе координат z 1 0 1 y 1 ).

2.4. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z, y :

; ;

Повернем оси z , y на угол α против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Требуется определить моменты инерции относительно «новых» (повернутых) осей z 1 и y 1 :

Координаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z 1 0y 1 можно выразить через координаты в «старых» осях так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишем окончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:

Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получим

т. е. полярный момент инерции есть величина инвариантная (другими словами, неизменная при повороте координатных осей).

2.5. Главные оси и главные моменты инерции

До сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной системе координат, однако наибольший практический интерес представляет система координат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характеристик. Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Введем понятия: главные оси и главные моменты инерции .

Главные оси – две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями .

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v ; главные моменты инерции – J u и J v (по определению J uv = 0).

Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и величину главных моментов инерции. Зная, что J uv = 0, воспользуемся уравнением (2.3):

Угол α 0 определяет положение главных осей относительно любых центральных осей z и y . Угол α 0 откладывается между осью z и осью u и считается положительным в направлении против часовой стрелки.

Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центробежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.

Исключая угол α в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим формулы для определения главных осевых моментов инерции:

Запишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значение.

2.6. Рациональные формы поперечных сечений

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле:

, (2.5)

где М – изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении; у – расстояние от рассматриваемой точки до главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента; J x – главный центральный момент инерции сечения.

Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в данном поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам:

; ,

где у 1 и у 2 – расстояния от главной центральной оси Х до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.

Для балок из пластичных материалов, когда [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] – допускаемые напряжения для материала балки соответственно на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси. В этом случае условие прочности имеет вид:

≤ [σ], (2.6)

где W x = J x / y max – момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно главной центральной оси; y max = h / 2 (h – высота сечения); М max – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент; [σ] – допускаемое напряжение материала на изгиб.

Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала (или при наименьшей площади поперечного сечения) получается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности, распределять сечение подальше от главной центральной оси.

Например, двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного поперечного сечения той же площади сделанного из того же материала.

Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения остается неизменной. Следовательно, сечение надо располагать так, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которых момент инерции минимален. Следует стремится, чтобы изгиб бруса проходил в плоскости его наибольшей жесткости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно оси называется величина, которую определяют как:

Выражение (1) обозначает, для вычисления осевого момента инерции берется по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок () умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей (например, относительно осей X и Y в декартовой системе координат) дают полярный момент инерции () относительно точки пересечения этих осей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Полярным моментом инерции называют момент инерции сечением по отношению к некоторой точке.

Осевые моменты инерции всегда больше нуля, так как в их определениях (1) под знаком интеграла стоят величина площади элементарной площадки (), всегда положительная и квадрат расстояния от этой площадки до оси.

Если мы имеем дело с сечением сложной формы, то часто при расчетах используют то, что осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Однако следует помнить, что нельзя суммировать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.

Осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести сечения имеет наименьшее значение из всех моментов относительно параллельных с ней осей. Момент инерции относительно любой оси () при условии ее параллельности с осью, проходящей через центр тяжести равен:

где - момент инерции сечения относительно оси проходящей через центр тяжести сечения; - площадь сечения; - расстояние между осями.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Чему равен осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси Z, проходящей через центр тяжести () треугольника, параллельно его основанию? Высота треугольника равна .
Решение	Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку (см. рис.1). Она находится на расстоянии от оси вращения, длина одной ее стороны , другая сторона . Из рис.1 следует, что: Площадь выделенного прямоугольника с учетом (1.1) равна: Для нахождения осевого момента инерции используем его определение в виде:
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найдите осевые моменты инерции относительно перпендикулярных осей X и Y (рис.2) сечения в виде круга диаметр которого равен d.
Решение	Для решения задачи удобнее начать с нахождения полярного момента относительно центра сечения (). Все сечение разобьем на бесконечно тонкие кольца толщиной , радиус которых обозначим . Тогда элементарную площадь найдем как: